সামাজিক দূরত্বে জ্যামিতিরপাঠ

বিশ্বব্যাপী মরণব্যাধি চরম সংক্রামক করোনা ভাইরাসের প্রকোপে মানুষ নাজেহাল। বহু মানুষের জীবন কেড়ে নিয়েছে, বহু মানুষ মৃত্যুর দ্বারপ্রান্ত থেকে ফিরে এসেছে। এখনো চলছে করোনার ভয়াল তান্ডব। দীর্ঘ ৬৬ দিন সাধারণ ছুটি আবরণে থাকা লকডাউন শর্তসাপেক্ষে সম্পূর্ণ তুলে দিয়েছে গত মাসে। সবকিছু খুলেও গেছে। চালু হতে শুরু করেছে মানুষের জীবিকার লড়াই। অথচ এমন এক সময় চালু হয়েছে, যখন বাংলাদেশে করোনার আক্রমণ শীর্ষে, বলা যায় করোনার পিক সিজন। তারপরও সবকিছু চালু হচ্ছে। চালু না করে উপায় নেই, মানুষের জীবন জীবিকার বিষয়। দুই মাসের এই বদ্ধ পরিস্থিতিতে সৃষ্ট চাল-তেল কেলেঙ্কারি, ত্রাণের জন্য রাস্তা অবরোধ প্রভৃতি থেকে বোঝা গেছে, মানুষকে ঘরে রেখে খাওয়ানোর সক্ষমতা সরকারের নেই। বাংলাদেশের মানুষও কর্মঠ। তারা সাহায্য চায়না, কাজ চায়। ফলে তারা জীবিকার স্বার্থেই বেরিয়ে পড়বে এটাই স্বাভাবিক। যেহেতু নিজেরা চালাতে পারছে না, কাজেই খুলে দেওয়াটাই বুদ্ধিমানের কাজ মনে করেছে সরকার। আসলেই তো বুদ্ধিমানের কাজ। জীবন অনেক সস্তা এদেশে । এই করোনা মহামারির সময়ও জীবন-জীবিকার তাগিদে মানুষকে চলতে হচ্ছে এবং চলতেও হবে। যথাযথ স্বাস্থ্যবিধি মেনে কিভাবে কর্মক্ষেত্রে কাজ করা যায়, কিভাবে আবার ব্যবসাপ্রতিষ্ঠান, অফিস-আদালতসহ পাবলিক প্রতিষ্ঠান চালু করা যায়, সেই চিন্তা সবার। করোনা থেকে বাঁচতে গেলে চাই নিরাপদ সামাজিক দূরত্ব। সামাজিক দূরত্ব নিশ্চিতকরণে গণিতের ভূমিকাও কম নয়। এ লেখায় সামাজিক দূরত্ব অর্থাৎ নিরাপদ দূরত্ব নিশ্চিতকরণে জ্যামিতিক কৌশল প্রয়োগ করার প্রচেষ্টা করা হবে।

 
বৃত্ত প্যাকিং(Circle Packing) বা গোলক প্যাকিং(Sphere Packing) জ্যামিতির গত শতাব্দীর গোড়ার দিকের সমস্যা। করোনা মহামারীর এই সংকটে লক্ষ লক্ষ মানুষ এই সমস্যা নিয়ে ভাবতে শুরু করেছে। কেউবা জেনে কেউবা অজান্তেই। সবার চিন্তা এখন একটাই কিভাবে নিরাপদ দূরত্ব বজায় রেখে পুনরায় অফিস-আদালত, স্কুল কলেজ, ব্যবসাপ্রতিষ্ঠান সচল রাখা যায়? নিরাপদ অবস্থানের জন্য প্রত্যেকের ছয় ফিট দূরত্ব নিশ্চিত হওয়া দরকার। এই নিরাপদ দূরত্ব ব্যবহার করে কিভাবে জায়গা পূর্ণ করা যায়, যাতে জায়গার অপচয় কম হয় এটিই ব্যবস্থাপনা সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যা।

অবশ্য Covid 19 কে কেন্দ্র করে অনেক জ্যামিতিক বা গাণিতিক সমস্যা নিয়েই কাজ হচ্ছে। এক্ষেত্রে বৃত্ত প্যাকিং বা গোলক প্যাকিংও বেশ গুরুত্বপূর্ণ। বর্তমানে এটি বহুমাত্রিক সমস্যার সমাধানে আকর্ষণীয় পদ্ধতি। ৮ কিংবা ২৪ মাত্রার জগতে রাসায়নিক পদার্থের কোন স্ফটিকের মডেল গঠন অথবা মোবাইল ফোন ও নেটওয়ার্কিং কানেকশনের ওভারলেপিং রোধ করার ক্ষেত্রে এই সমস্যা ব্যবহার করা হয়। আমাদের ফলের দোকানদাররা এই পদ্ধতি ব্যবহার করে আপেল বা কমলা সাজিয়ে রাখেন। 

  

বৃত্ত প্যাকিং বা গোলক প্যাকিং বৃত্ত প্যাকিং(Circle packing) হল এমন এক জ্যামিতিক কৌশল যেখানে সম কিংবা অসম আকারের কতগুলো বৃত্ত একই তলে এমনভাবে সাজানো হয় যাতে একটি আরেকটির ভিতরে ঢুকে না যায় অর্থাৎ overlapping না হয় (চিত্র ১-ক)। গোলক প্যাকিং(sphere packing) হল কোন স্থানে সম কিংবা বিষম আকারের কতগুলো গোলকের সন্নিবেশ যেখানে কোন গোলক একটি আরেকটির সাথে একাকার না হয় অর্থাৎ overlapped না হয় (চিত্র ১-খ)।  বৃত্ত প্যাকিংয়ের একটি সহজ উদাহরণ দেখতে পাই যখন অনেকগুলো কনডেন্স মিল্কের কৌটা একটার সাথে আরেকটা সাজিয়ে রাখা হয় তখন সামনের তলের আকৃতি হয় চিত্র২-ক এর মত। এখানে যে প্যাটার্ন তৈরি হয়েছে তাতে মনে হবে, প্রত্যেক পার্শ্ব থেকেই এটি সমান। পরপর চারটি বৃত্তের মাঝে যে ছোট ফাঁকা স্থান যা বৃত্তের দ্বারা আবৃত হয়নি সেই স্থানটুকু বৃত্তের ক্ষেত্রে অপচয় বা অকেজো স্থান। এ অংশকে প্যাকিং ঘনত্ব (packing density) বলে। এর পরিমাণ যত কম সেই সন্নিবেশ আমাদের কাছে তত গ্রহণযোগ্য। সে ক্ষেত্রে (চিত্র ২-খ) এমন সন্নিবেশকে বলা হয় বর্গ প্যাকিং(square packing). কারণ পরপর চারটি বৃত্তের কেন্দ্র যোগ করলে তা একটি বর্গ হয় (চিত্র ২-খ, ২-গ)। 

এভাবে সাজানো বৃত্তের পার্শ্ববর্তী চারটি বৃত্তের কেন্দ্র যোগ করলে বর্গাকার সন্নিবেশ হয়। এক্ষেত্রে ছোট বর্গের ফাঁকা স্থানের শতকরা পরিমাণ নির্ণয় করাও সহজ। কেননা এক্ষেত্রে একই রকম ভাবে বৃত্তগুলো সাজানো হয়েছে খুব কাছ থেকে দেখলে একটি বর্গ হয় চিত্র ২-গ এর মত। সে ক্ষেত্রে প্রত্যেক বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক হলে বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য হয়, a= r+r= 2r একক। বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র πr^2 এবং বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র বাহু× বাহু বা a^2। তাহলে একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত করলে হয়, πr^2:a^2 বা π:4 বা 0.7854 (প্রায়) শতকরা পরিমাণে যা 78.54%। এই শতকরা পরিমাণকে বর্গ প্যাকিং এর ঘনত্ব বলে। বৃত্তগুলো যতই বড় হোক না কেন, একটি বর্গ চারটি বৃত্তের চারভাগের এক ভাগ করে দখল করবে।
এবার যদি কনডেন্স মিল্ক এর কৌটাগুলো একটি আরেটির ওপর একটা না রেখে দুইটার মাঝে একটা রেখে সাজানো যায় তাহলে সামনের আকার হয় চিত্র ৩-ক এর মত হয়। এক্ষেত্রে ফাঁকা জায়গার পরিমাণ অনেক কমে যায়। মাঝের একটি বৃত্তের চারপাশে ৬ টি বৃত্ত অবস্থান নিতে পারে। সেক্ষেত্রে পার্শ্ববর্তী বৃত্তের কেন্দ্র যোগ করলে পূর্বের ন্যায় এখানে সুষম ষড়ভুজ (যে বহুভুজের ৬ টি সমান বাহু থাকে) তৈরি হয়। একটি ষড়ভুজের চিত্র হয় চিত্র ৩-খ এর মত। 

প্রত্যেক বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক হলে কেন্দ্রের বৃত্তের কেন্দ্র ও পার্শ্ববর্তী বৃত্তের কেন্দ্র যোগ করলে ষড়ভুজের কেন্দ্র হতে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব পাওয়া যায়, আর তা হল r+r=2r একক। আবার ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য r+r=2r একক। চিত্র দেখলেও বোঝা যায়, কেন্দ্র হতে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব ও বাহুরগুলোর দূরত্ব সমান। অর্থাৎ ষড়ভুজের ভেতর যে ৬ টি ত্রিভুজ তৈরি হয়েছে সেগুলো সমবাহু। ফলে সম্পূর্ন সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল হবে একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের ছয়গুণ। সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ
ক্ষেত্রফল=√3/4×a^2, এখানে a ত্রিভুজের বাহু।
তাহলে, ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল= 6×√3/4×a^2,
ষড়ভুজের ভিতরে ৬ টি বৃত্তের অংশ এবং একটি পূর্ণ বৃত্ত আছে। বৃত্তেগুলোর ক্ষেত্রফল হবে ৬টি বৃত্তের অংশের ক্ষেত্রফল এর সাথে একটি পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি। ষড়ভুজের একটি শীর্ষ একটি বৃত্তের যেটুকু অংশ দখল করেছে তাকে বৃত্তাংশ বা বৃত্তকলা বলে। ষড়ভুজের শীর্ষের উন্নতি কোণ 120°। ফলে একটি বৃত্ত কলার ক্ষেত্রফল (120÷360)πr^2 বা 1/3πr^2. তাহলে, সবগুলো বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে ক্ষেত্রফল= 6×1/3πr2+πr^2= 3πr^2. সুতরাং, ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 3πr2:6×√3/4×a^2 বা 0.9069(প্রায়) অর্থাৎ দেখা যাচ্ছে ষড়ভুজ প্যাকিং আর আরো বেশি গ্রহণযোগ্য।
এ সকল আলোচনা কেবল দুই মাত্রার ক্ষেত্রেই সীমাবদ্ধ। কিন্তু বস্তুটি যদি ত্রিমাত্রিক বস্তু হয়, যেমন একটি গোলক হয় তখন কি হয়? গোলক বলতে আমরা অনেকগুলো টেনিস বল নিতে পারি।

 প্রথমে কয়েকটি টেনিস বল পাশাপাশি রেখে একটি লেয়ার বা স্তর তৈরি করে (চিত্র ৪) তার ওপর চারটি মাঝখানে একটি বসানো যায়, এমন ভাবে আরো বল বসিয়ে এভাবে দ্বিতীয়, তৃতীয় লেয়ার(চিত্র ৪) তৈরি করা হলো। এ ক্ষেত্রে নিচের চারটি বলের মাঝে উপরের বলটি দ্বারা সৃষ্ট ফাঁকা জায়গার পরিমাণ অনেক কম (চিত্র ৪-১)। একটি বর্গের ভিতর একটি বৃত্ত নিলে মাঝে যে ফাঁকা স্থান থাকে তা একটি ঘনকের মধ্যে একটি গোলক নিলে অনেক কম(চিত্র ৫) বৃত্তের ক্ষেত্রে. 7854 (প্রায়),গোলকের ক্ষেত্রে 0.5236 ( প্রায়) অর্থাৎ দুই মাত্রার ক্ষেত্রে অধিকৃত ফাঁকা জায়গা বেশি, তিন মাত্রার ক্ষেত্রে কম এভাবে যত মাত্রা বেশি হবে তত কম হবে। 8 এবং 24 মাত্রা ব্যবহার করে রসায়নের বিভিন্ন মডেল গঠন করা হয়। 

করোনা মহামারির এই দুঃসময়ে মানুষের জীবন-জীবিকার জন্য ধীরে ধীরে সব কিছু চালু হচ্ছে। যেহেতু করোনার প্রকোপ থাকবেই তাই সবার চিন্তা যথাযথ স্বাস্থ্যবিধি মেনে জীবন-জীবিকার লড়াইয়ে পদার্পণ করা। সেই চিন্তার কিঞ্চিত সমাধান হতে পারে বৃত্ত কিংবা গোলক প্যাকিং। যদিও বাস্তব ক্ষেত্রে অফিসগুলো সকল কর্মচারীকে স্বাস্থ্যবিধি মেনে কাজ করার সুযোগ দেয়ার সক্ষমতা নেই, যদিও গাণিতিক জ্যামিতিক সকল সূত্র মেনে মানুষ জীবন চালাতে পারে না বা সম্ভব হয়না তবুও গণিত প্রেমীদের এ প্রচেষ্টা অবহেলার নয়। অফিস কিংবা কর্মস্থলে বৃত্ত প্যাকিং অথবা গোলক প্যাকিং অনুসরণ করলে যথাযথ দূরত্ব নিশ্চিত হবে এটুকু নিশ্চিত হওয়া যায়। নিজের জীবনের সুরক্ষা নিজেই করুন। যথাযথ স্বাস্থ্যবিধি মেনে চলুন। বাংলাদেশের স্বাস্থ্যখাত ভীষণ অসুস্থ। তার আশা বাদ দেয়াই বুদ্ধিমানের কাজ হবে।
[ কোয়ান্টা ম্যাগাজিনে প্রকাশিত তথ্যের আলোকে]