পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং ব্যবহার

অষ্টম শ্রেণী গণিত বইয়ের নবম অধ্যায় 'পিথাগোরাসের উপপাদ্য'। পিথাগোরাসের উপপাদ্য নিয়ে নবম দশম শ্রেণি গণিত বইয়ে আলোচনা আছে । এখানে আমরা অষ্টম পাঠ্যবইয়ের আলোকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য মূল বিষয় এবং ব্যবহার আলোচনা করবো।
অষ্টম শ্রেণীর প্রথম অধ্যায় 'প্যাটার্ন' এ আমরা একটি সংখ্যাকে দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি আকারে প্রকাশ করা শিখেছিলাম। যেমন, 25=16+9 বা 25 = 4²+3² বা 5² = 4² +3² এখানে ব্যবহৃত ক্রমিক সংখ্যা তিনটিকে অর্থাৎ 3,4,5 কে সেন্টিমিটার এককে কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু ধরে ত্রিভুজটি অংকন করা হলে, তা অবশ্যই একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে। ঠিক এই বিষয়টিই গ্রিক দার্শনিক এবং গণিতবিদ পিথাগোরাস সর্বপ্রথম বলেন এবং প্রমাণ করেন। তার কথাটিই বিখ্যাত পিথাগোরাসের উপপাদ্য নামে পরিচিত।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান। সোজা কথায়, আমরা জানি যে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর বিশেষ নাম আছে। যেমন, অতিভুজ, ভূমি, ও লম্ব। পিথাগোরাসের মতে, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গ অর্থাৎ অতিভুজকে একটি বর্গের বাহুর ধরে বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করলে ঐ বর্গক্ষেত্রের যে ক্ষেত্রফল হয়, তা অপর দুই (লম্ব, ভূমি)বাহুকে দুটি বর্গের বাহু ধরে দুটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করলে, যে ক্ষেত্রফল হবে তাদের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ অতিভুজ c হলে c বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল c²; লম্ব a, ভূমি b হলে, তাদের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে a² এবং b² সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, c²=a²+b² (চিত্র দ্রষ্টব্য)

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণ:

বিভিন্ন গণিতবিদবিভিন্ন উপায়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করেছেন । এ যাবত উইকিপিডিয়া তথ্যানুসারে, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের স্বীকৃত প্রমাণের সংখ্যা ৩৭০ । প্রধানত নিম্নোক্ত বিষয়গুলোকে বিবেচনায় নিয়েই উপপাদ্যের প্রমাণগুলো করা হয়েছে:
(১)পুনর্বিন্যাসের সাহায্যে

(২)জ্যামিতিক ভাবে

(৩)বীজগণিতের সাহায্যে

(৪)ক্যালকুলাসের সাহায্যে

আমাদের পাঠ্যবইগুলোতে যে প্রমাণ দেয়া আছে তা উপরোক্ত বিষয়গুলোকে বিবেচনা নিয়েই। নিচে বিভিন্ন গণিতবিদের নাম প্রমাণের ধরন সংক্ষিপ্ত আকারে দেওয়া হল:

গারফিল্ড এর প্রমাণ

দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে । এক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ ২টিকে এমনভাবে স্থাপন করা হয় যাতে একটি ট্রাপিজিয়াম তৈরি করা হয় এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়

গারফিল্ডের প্রমাণের ব্যাখ্যাসংবলিত ভিডিও

ভাস্কর এর প্রমাণ

(ভাষ্কর প্রথম ও দ্বিতীয়)
বীজগণিতের সাহায্যে (ভারতীয় গণিতবিদ ভাষ্কর প্রথম এর প্রমাণ) এক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ টিকে পুনর্বিন্যাস করে বীজগণিতের সূত্র প্রয়োগ করা হয়।

(ভারতীয় গণিতবিদ ভাষ্কর দ্বিতীয় এর প্রমাণ/এটি অনেকে ইউক্লিডিও এর দ্বিতীয় প্রমাণও বলে)
এক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ বিভক্ত করে দুটি সদৃশ্য ত্রিভুজ তৈরি করা হয়।

পিথাগোরাসের প্রমাণ(ধারণা)

এটিও বীজগাণিতিক সূত্র প্রয়োগ করেই প্রমাণ করা হয়েছে। এ ক্ষেত্রে একটি বর্গক্ষেত্রকে ব্যবচ্ছেদ করা হয়।

ইউক্লিড এর প্রমাণ

(জ্যামিতির সাহায্যে) এক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির উপর বর্গ অঙ্কন করে বিভিন্ন বাহুর সংযোগ করে প্রমাণ করা হয়েছে।

প্রমাণগুলো বইয়ে/অনলাইনে আছে তাই আর কলেবর বৃদ্ধি করা হলো না আগ্রহীদের জন্য আরও অধিক প্রমাণ এর লিংক দেওয়া হল। 100 এর অধিক প্রমাণ
বিঃদ্রঃ

আরও কয়েকটি প্রমাণের ব্যাখ্যাসহ ভিডিও সাথে অতিরিক্ত থাকছে পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্যের প্রমাণ।

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের অনেক প্রমাণের প্রমাণকারীর নাম ও কৌশলে কিছুটা অসামঞ্জস্য আছ। আগ্রহী পাঠকগণ ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ব্যাখা পড়তে পারেন

পিথাগোরাসের উপপাদ্য বহুবিধ ব্যবহার

➡️ গণিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের ব্যবহার:
ত্রিভুজের বাহু ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
কোন সমকোণী ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহু দেয়া থাকলে তৃতীয় বাহু বের করা যায়। যেমন দুটি বাহু a= 12,b=5 হলে, অপর বাহু c=√(a²+b²)
c=√(12²+5²)=13

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল=1/2×ভূমি×উচ্চতা
এক্ষেত্রে উচ্চতা নির্ণয় করতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়। এছাড়াও ত্রিকোণমিতি, পরিমিতি, গোলীয় জ্যামিতি, পদার্থবিজ্ঞানসহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের অবদান অনস্বীকার্য

➡️ বাস্তব জীবনে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের ব্যবহার:

১) রাস্তার দূরত্ব নির্ণয়: ধরা যাক, রানা ঠিক পূর্ব দিকে 4 মাইল গিয়ে আবার সোজা উত্তরে 3 মাইল গেল । তাহলে তার সরাসরি দূরত্ব হবে,
দূরত্ব=√(4²+3²)=5 মাইল।
যেহেতু পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে জানি,c=√(a²+b²)

২) ছাদে উঠতে বা দেয়াল রং করতে মইয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
ছাদে উঠতে বা দেয়ালে রং করতে প্রয়োজনীয় মইয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায় পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে।

৩) টিভি বা মনিটরের সঠিক আকার নির্ণয়:
টিভি বা কম্পিউটার মনিটর সঠিক আকার নির্ণয় করতে টিভি টিভি মনিটরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ তুলনা করে কৌণিক দূরত্ব বের করতে হয় পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে।

৪) স্থাপত্য ও নির্মাণ শিল্পে:
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বহুল ব্যবহার স্থাপত্য এবং নির্মাণ শিল্পে যা আমরা আমাদের বাড়ি বা বিল্ডিং দেখলেই বুঝতে পারি।

৫) জরিপ কাজে
ভূমি জরিপের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়। বিশেষ করে নেভিগেশন এর ক্ষেত্রে।

মহান পিথাগোরাসের অবদান আধুনিক বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে অপরিসীম, পিথাগোরাসের উপপাদ্যই তার বাস্তব প্রমাণ।